千分率（せんぶんりつ）とは百分率（ひゃくぶんりつ・いわゆる「パーセント」）の仲間です。
基本的に百分率と性質は一緒ですが、百分率が１００を単位としているのに対して
千分率は１０００を単位にしています。
漢字を見てイメージしてみましょう。

ちなみに、千分率は記号「‰」で表し、「パーミル」もしくは「パーミリ」と呼びます。

千分率は鉄道とどのような関わりがあるのでしょうか。
答えを先に言ってしまうと、千分率は「勾配」を表す方法なのです。
勾配（こうばい）とは、ここでは「坂道の傾き」の事だと思ってもらって結構です。
つまり、鉄道では千分率で上り坂や下り坂の傾き（キツさ）を表すのです。

勾配は千分率を用いて、
「距離が１０００メートル（＝１キロ）進むごとに地面が何メートル上昇するor下降するか」
という定義がされています。
ですから、今地面の高さが０メートルで、１キロ進んだ時に４メートル上昇していれば、
＋４パーミルと表しますし、
今地面の高さが１２メートルで、１キロ進んだ時に２メートル下降していれば、
－２パーミルと表します。

＜問題＞
ある線路の基点（高さは０メートル）から５００メートル進んだ時、地面の高さは３．３メートルに
なっていた。この線路の勾配はいくらか。

＜解答＞
勾配の定義は
「距離が１０００メートル（＝１キロ）進むごとに地面が何メートル上昇するor下降するか」
です。
この問題では「５００メートルで＋３．３メートル」ですから、２倍して１０００メートルに
あわせてあげましょう。
３．３×２＝６．６ですから、１０００メートルで＋６．６メートル、つまり ＋６．６パーミル です。